Konzultáció - Bayes

Sziasztok!

Ez volt a Bayes-tételes példa a konzultáción:



Felelősséget nem vállalok érte. :)

Üdv: Bálint

Konzultáció

Sziasztok,

Én részt vettem a konzultáción, nagyjából megérte bemenni (annak aki tanult). Megcsináltunk pár feladatot, néztünk egy példát a Bayes féle feladatra és érdekes volt az összetett LP feladat is. Nem valami szépen jegyzeteltem, így egyelőre nem rakom fel, ha eljutok odáig, hogy újra megoldjam a feladatokat, akkor szépen írok és talán estére felkerül... Nem ígérem.

Szóval a mai napi konzi egyik tanulsága: Bayes-es feladat is várható :)

Eredményes tanulást!

L

Elmélet javítás / kiegészítés

Sziasztok!

Kimaradt definíciók:

Döntési helyzet: Döntési helyzetnek nevezzük az olyan helyzeteket, amelyekben az egyén vagy csoport, azaz a döntéshozó legalább két cselekvési változat közötti választás problémájával áll szemben.

Spearman féle rangkorrelációs együttható (R): Két rangszám sorozat egyezésének vagy nem egyezésének az értékét adja meg. Értéke -1 és 1 között mozoghat. -1 esetén a kétféle sorozat a fordítottja egymásnak, 1 esetén a két sorozat tökéletesen megegyezik. Ha R=0, akkor pedig a két rangsor között nincs kapcsolat.

Konzisztencia vizsgálat: Konzisztencia vizsgálat esetén a döntéshozó következetességét értékeljük egy következetességi mutató (K) segítségével.

Javított:

Az egyetértés mérése csoportos döntések esetén: R mennyiség segítségével történik. Az R mennyiségek a teljes ellentét esetében egyformák, azaz ingadozásuk nulla. Teljes egyetértés esetében pedig az R mennyiségek ingadozása maximális.

Leegyszerűsített:

Döntési alapmodell: amikor a döntési helyzet különféle elemzései egy bizonyos modell felé mutatnak, akkor ezt a modellt döntési alapmodellnek nevezzük.

A döntési alapmodell elemei:

• Döntéshozó: az a személy (vagy csoport), aki a cselekvési változatok közül választ egyet.

• Cselekvési változatok, stratégiák: a döntéshozó rendelkezésére álló erőforrások bizonyos felhasználását jelenti.
  

• Tényállapotok: olyan eseményeknek tekinthetők, amelyek nem a cselekvési változat tényezőinek hatására következnek be, de a cselekvési változat következményére hatással vannak.

• Tényállapotok valószínűségei P(t_j): rendszerint nem tudjuk biztosan megmondani, hogy milyen tényállapot (esemény) van jelen, illetve milyen következik be később. Megállapításaink csak bizonyos valószínűséggel érvényesek. A cselekvési változatok nincsenek hatással a tényállapotok valószínűségeire.
  

• Következmények, eredmények: egy cselekvési változat és egy tényállapot együttes hatásának eredménye.

• Döntési kritérium: olyan előírás, amely megmondja, hogyan használjuk fel az előbbi információkat egyetlen cselekvési változat kiválasztására.

Döntési osztályok: a tényállapotokra (következményekre) vonatkozó valószínűségek alapján lehet felállítani.

1) Bizonytalan döntések osztálya: Azok a döntési problémák tartoznak ide, amelyekben nem ismerjük a tényállapotok (illetve következmények) valószínűségeit. Alkalmazott kritériumok: Wald, Savage, Laplace, Hurvicz kritériumok.

2) Kockázatos döntések osztálya: Azok a döntési problémák tartoznak ide, amelyek esetében a tényállapotok valószínűségei ismertek. Alkalmazott kritérium: Bayes-féle kritérium.

3) Biztos döntések osztálya: Azok a döntési problémák tartoznak ide, amelyek esetében biztosan tudjuk, hogy egy cselekvési változat esetében melyik következmény lesz az eredmény. Alkalmazott kritériumok: maximum vagy minimum kritérium. Az ilyen problémák megoldására dolgozták ki például a lineáris programozás módszerét.

Az órán megoldott feladatok közül pár

Nem tudom, hogy jó a megoldás, vagy sem... de ha megcsinálta más, és más jött ki, vagy másként néz ki, írja meg.

3. dolgozat témakörei

DÖNTÉSELMÉLET

BEVEZETÉS A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSBA

RANGMÓDSZEREK ALKALMAZÁSA

Az órán gyakoroltunk rangsoros feladatokat, azok dián lesznek elérhetők. 

Elmélet a 3. zárthelyi dolgozathoz

Helló, 


Lehet kicsit hiányos, de nagyjából itt van az elmélet összeszedve. Bővítéseket, pontosításokat szívesen várok.

Döntés : Választás legalább két cselekvési változat (cselekvési mód) között.

A döntési alapmodell elemei:

Döntéshozó: az a személy (vagy csoport), aki a cselekvési változatok közül választ egyetàcélja(i) van(nak)

Cselekvési változatok, stratégiák (s_i, i=1,2,…,n): a döntéshozó hatáskörébe tartozó szabályozható változók együttese, illetve a rendelkezésére álló erőforrások bizonyos formában való felhasználása: 1. a cselekvési változatoknak különböző következményeik/eredményeik vannak 2. nem határozzák meg egyértelműen a következményeket, a tényállapotok is hatással vannak következményekre, eredményekre

Tényállapotok (t_j): a tényállapotok olyan eseményeknek tekinthetők, amelyek nem a cselekvési változat tényezőinek hatására következnek be, de a cselekvési változat következményére hatással vannak. A döntéshozó által nem (vagy csak részlegesen) szabályozható változók együttese.

Tényállapotok valószínűségei P(t_j): rendszerint nem tudjuk biztosan megmondani, hogy milyen tényállapot (esemény) van jelen, illetve milyen következik be később. Megállapításaink csak bizonyos valószínűséggel érvényesek. A cselekvési változatok nincsenek hatással a tényállapotok valószínűségeire.

Következmények, eredmények (o_ij, i-edik cselekvési változat és j-edik tényállapot együttes következménye): egy következmény egy cselekvési változat és egy tényállapot együttes hatásának eredménye, P(t_j)=P(o_ij), ha a tényállapot és cselekvési változat független.

Döntési kritérium: olyan előírás, amely megmondja, hogyan használjuk fel az előbbi információkat egyetlen cselekvési változat kiválasztására.

Döntési osztályok: a tényállapotokra (következményekre) vonatkozó valószínűségek alapján lehet felállítani 1.Bizonytalan körülmények közötti döntés: P(tj)-k, vagyis a tényállapotok (ill. következmények) valószínűségei  nem ismertek à nincs egységes döntési kritérium (a pszichológiai beállítottság dönt) Wald, Savage, Laplace, Hurvicz kritériumok 2. Kockázatos körülmények közötti döntés: P(tj)-k ismertek, ismert a valószínűség-eloszlásuk Bayes-féle kritérium: optimális várható érték kritérium, etikai neutralitás 3. Döntés bizonyosság esetén: Biztosan tudjuk, hogy melyik tényállapot következik be, vagy pedig a cselekvési változathoz tartozó egyetlen eredmény (következmény) bekövetkezését tekintjük biztosnak

Wald-kritériumot másképpen minimax (illetve maximin) kritériumnak is nevezik. A pesszimista és óvatos döntést hozó kritériuma. Minden egyes cselekvési változat esetében a legrosszabb következményt tekintve ezek közül a legjobbat, azaz a relatíve legkisebb rosszat választja.

A Savage kritérium az un. minimális regret kritériuma. A regret mértéke az adott körülmények közötti optimális (tehát a legjobb) és a tényleges döntés közötti különbség a következmények értékében mérve.

Hurvicz-féle kritérium az un. optimizmus együtthatóval súlyozva számítja ki a legmegfelelőbb cselekvési változatot. Az optimizmus együttható az elnevezéssel asszociálódó „komolytalan” felhanggal ellentétben, egzakt matematikai gondolatmenet alapján határozható meg.

Laplace-kritérium alapja az elégtelen megokolás elvében gyökeredzik. Eszerint, ha nincs elégséges indokunk a különböző események bekövetkezési valószínűségének megállapítására, akkor a Laplace-féle álláspont szerint legcélszerűbb, ha minden egyes eseményt azonos valószínűséggel tekintünk.

Bayes kritérium: optimális várható érték kritérium ha a döntési problémában az „esélyeknek”, azaz valószínűségeknek szerepe van, akkor a döntést hozók az optimális várható érték alapján döntenek. Kockázatos döntések osztályában alkalmazott döntési kritérium az un. Bayes-féle kritérium, más néven az optimális várható érték kritériuma.

Etikai neutralitás: ha egy kockázatos döntési probléma esetében a döntést hozó közömbös (etikailag neutrális) a cselekvési változatok között, akkor a cselekvési változatok várható értékei számára azonosak. Ebből a magatartásból – a megfelelő számítási eljárással – kiszámíthatók az eseményekhez rendelt látens valószínűségek.

Biztos döntések osztálya: biztosan tudjuk, hogy egy cselekvési változat esetében melyik következmény lesz az eredmény: vagy biztosan tudjuk, hogy melyik tényállapot következik be, vagy pedig a cselekvési változathoz tartozó egyetlen eredmény bekövetkezése biztos.

A lineáris programozás lényege: A gazdasági vagy szervezési jelenségekben bizonyos számú változó szerepel, amelyeknek akkor van értelmük, ha pozitívak vagy zérussal egyenlők (vagyis nem negatívak). Ezeket, a változókat lineáris összefüggések kapcsolják össze, és egyenletek vagy egyenlőtlenségek rendszerét alkotják, ezek a probléma céljai vagy korlátozó feltételei. Ezeknek, a változóknak van egy bizonyos z lineáris függvénye: ez a célfüggvény, és ennek a maximumát vagy a minimumát keressük az esetnek megfelelően.

Lineáris programozási feladat: Az olyan feltételes szélsőérték feladatot, amelyben lineáris egyenlőtlenségek és egyenletek által meghatározott halmazon egy lineáris függvény szélsőértékét keressük.

Optimális termékstuktúra meghatározása: egy cég a rendelkezésére álló m erőforrás (anyagok, gépek, munkaerő) felhasználásával n különböző terméket képes gyártani. Az egyes erőforrásokból bi mennyiség áll rendelkezésére. Az alkalmazott technológia szerint a j-edik termék egy darabjának előállításához az i-edik erőforrásból aij mennyiség szükséges. Az egyes termékek cij egységáron korlátlan mennyiségben értékesíthetők. A feladat annak meghatározása, hogy mennyit állítson elő az üzem az egyes termékekből, hogy árbevétele maximális legyen.

Optimális elosztási, szállítási programok meghatározása: Tipikusan lineáris programozási feladatok a szállítási problémákkal kapcsolatos lineáris programozási típusok. Adott m különböző tárolóhely, s ezek t1, t2, …, tm egységgel rendelkeznek valamely homogén termékből. Adott n felvevőhely, amelyek f1, f2, …, fn mennyiségeket keresnek a fenti termékből. Ismerjük továbbá a termék egységének elszállítási költségét minden tárolóhelyről minden felvevőhelyre. A feladat annak megválaszolása, hogy melyik tárlóhelyről mennyit szállítsunk az egyes felvevőhelyekre, hogy a szállítási összköltség minimális legyen.

Termelési, készlettartási problémák megoldása, Optimális keverékarány (étrend) meghatározása.

Lineáris programozási feladat 5 feltételezése:

1.Bizonyosság:a cél és a korlátozó feltételek száma nem változik a vizsgálati idő alatt. 2.Arányosság: a cél és a korlátozó feltételek esetében élünk az arányosság feltételezésével. 3.Additivitás: az összes tevékenység egyenlő az egyes tevékenységek összegével. 4.Oszthatóság: az LP feladat megoldása nem kell, hogy egész értékű legyen.  5.Nemnegativitás: valamennyi megoldás nem negatív.

Iso-profit vagy iso-költség módszer:

1.Egy nyereség vagy költség egyenes kijelölése a meredekség meghatározása céljából.

2.A célfüggvény maximalizálásakor az egyenest magával párhuzamosan felfelé toljuk el a lehetséges megoldások halmazán egészen addig, amíg csak egy közös pontja lesz azzal.

3.A célfüggvény minimalizálásakor önmagával párhuzamosan, de lefelé toljuk egészen addig, amíg csak egy közös pontja lesz a lehetséges megoldások halmazával.

4.Az optimális megoldás azonosítása a pont koordinátáinak megadásával, és a célfüggvény maximumának, illetve minimumának kiszámítása.

Sarokpontok módszere:

1.A korlátozó feltételeknek eleget tevő megoldások halmazán a sarokpontok azonosítása.

2.Minden sarokpontban a nyereség vagy költség kiszámítása a pontok koordinátáinak célfüggvénybe való helyettesítésével.

3.Az optimális megoldás azonosítása: a legnagyobb profitú vagy legkisebb költségű sarokpont kiválasztása a célfüggvény jellegének megfelelően

A grafikus megoldás néhány speciális esete

1.Nincs olyan halmaz, amely valamennyi korlátozó feltételnek eleget tesz. (Nincs olyan megoldáshalmaz, amely valamennyi korlátozó feltételnek eleget tesz. Egymásnak ellentmondó korlátozó feltételek esetén fordulhat elő (ha pl. nagyon sok a korlátozó feltétel).

2.Célfüggvény korlátlansága (Nincs véges megoldás. Egy maximalizálandó feladat esetén egy vagy több változó és a profit végtelen nagy lehet anélkül, hogy sértené a korlátozó feltételeket. A lehetséges megoldások halmaza nyílt végű.)

3.Redundancia (redundáns korlátozó feltételek jelenléte. A feladat megoldásában nem okoz problémát, a redundáns korlátozó feltétel nincs hatással a lehetséges megoldások halmazára.)

4.Alternatív optimális megoldások (két vagy több optimális megoldás. Tipikusan ilyen helyzet, amikor az iso-profitvagy iso-költséggörbe párhuzamosan fut a lehetséges megoldásokat leíró sokszög valamelyik oldalával –ugyanaz a meredekségük.)

Additivitást leíró axiómák:

l. vagy A=B vagy A¹B

2. ha A=B, akkor B=A

3. ha A=B és B=C, akkor A=C

4. ha A>B, akkor B<A

5. ha A>B és B>C, akkor A>C

6. ha A=P és B>0, akkor A+B>P

7. A+B=B+A

8. ha A=P és B=Q, akkor A+B=P+Q

9. (A+B)+C=A+(B+C)

Mérési skála: A skála a mérési eredmények értelmezéséhez szükséges információkat rögzíti.

Nominális skála (névleges): Legegyszerűbb skálatípus, ahol a statisztikai vizsgálat eredményeit osztályokra, kategóriákra osztjuk. Egyedi dolgok, osztályok azonosítására szolgál. A skálaértékeket pusztán kódszámoknak tekintjük, amelyek között semmilyen matematikai viszonyt nem feltételezünk. Pl: nemi hovatartozás szerinti osztályozás, nemzetiségi hovatartozás. Nominális skála esetében a skálaérték előfordulásának gyakorisága (modusz) vizsgálható, azonban sem medián, sem átlag nem.

Sorrendi skála: Ez a nominális skála rokonának tekinthető, de ebben az esetben az egyes kategóriák kvantitatív alapon sorba rendezhetők, meg tudjuk mondani, melyik a „jobb” vagy „több”. Azonban a számértékek nem tüntetik fel, hogy az objektumok közötti eltérés mértéke mekkora. Pl: katonai rendfokozat skálája, ásványok keménységét mérő skála. E skálatípus esetében medián vizsgálható, átlagról ellenben itt nincs értelme beszélni.

Intervallumskála: A számértékek mind a nagyság szerinti viszonyokat megmutatják, mind az eltérés mértékét meghatározzák, a skálaértékek különbségét itt már értelmezni tudjuk. Pl: hőmérsékletmérés, színek skálája, intelligenciamérés. Itt már számolhatunk átlagot, mivel a nullapont eltolása nem változtatja meg az átlag relatív helyét az átlagolt számok között. 

Arányskála: Az arányskála az intervallumskála jellemzőivel rendelkezik, emellett tartalmaz egy abszolút nullapontot is. A darabszámmal vagy intenzitással rendelkező mennyiségek tipikus arányskálát képviselnek. Az arányskálára a számokra vonatkozó összes művelet alkalmazható. Az arányskálán a nullapont természetesen rögzítve van. Ugyanakkor a skála egysége itt is szabadon megválasztható.

Komplex rendszernek tekintünk minden olyan rendszert, amelyet egyidejűleg több

tulajdonság (értékelési tényező alapján) minősítünk. A komplex rendszerek összemérésének egyik legnagyobb nehézségét az jelenti, hogy az egyes értékelési tényezők különböző szintű mérési skálákon mérhetők.

közvetlen rangsorolás: dolgokat közvetlenül rangsoroljuk, és közvetlenül rendeljük hozzájuk a rangszámokat, amelyeket a köznyelv sorszámoknak nevez.

Páros összehasonlítás módszerének: az alternatívák közvetett, páronkénti összehasonlításán alapul.

Preferenciareláció: megelőzési reláció, ahol a megelőzés megállapítása előnyben részesítés alapján történik. →. Ha a→b (a preferált b-hez), akkor ennek a jelentése az, hogy a döntéshozó a-t előnyben részesíti b-vel szemben, tehát a-t a döntéshozó többre értékeli, ezért azt fogja választani. A preferenciareláció mindig értékelést fejez ki.

Preferencia-mátrix: Az értékeléseket a preferencia-mátrixon összesítjük. A preferencia-mátrix soraiban és oszlopaiban az értékelési tényezők szerepelnek.

K következetességi mutató: Ha K=1, akkor ez azt jelenti, hogy nincs jelen körhármas, tehát a szóban forgó döntéshozó teljesen következetes, vagyis egyetlen esetben sem sértette meg a tranzitivitás követelményét.

Guilford-féle eljárás: eljárás alapja a már ismertetett páros összehasonlítás, amellyel sorrendi skálán már rangsorolni tudjuk az értékelési tényezőket. A standardizált normális eloszlást használja a transzformálás során, technikailag pedig a páros összehasonlítás módszerét.

R mennyiségek a teljes ellentét esetében egyformák, azaz ingadozásuk nulla. Teljes egyetértés esetében pedig az R mennyiségek ingadozása maximális.

Kendall-féle rangkonkordencia együttható: W értéke teljes egyetértés esetén 1, teljes ellentét esetében 0.

A Kendall-féle egyetértés együttható abban különbözik a Kendall-féle rangkonkordencia együtthatótól, hogy ezt a páros összehasonlítások preferenciagyakoriságai alapján számítjuk ki, és nem pedig a közvetlen rangsorolás rangszámösszegei nyomán.

Asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (mindkét változó nominális mérési szintű)

Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi, a másik pedig minőségi vagy területi ismérv (az egyik változó különbségi vagy arányskálán, a másik pedig nominális skálán mérhető)

Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (mindkét változó különbségi vagy arányskálán mérhető)

Rangkorrelációs kapcsolat: mindkét változó sorrendi skálán mérhető

Egyetértés fogalma: két vagy több ugyanazon dologban érdekelt személy azonos nézete, véleménye valamire nézve, valamely dologban, ügyben, kérdésben.

Rangszámegyezés esete: Két vagy több dolgot azonosnak tekintünk, ha nincs közöttük észrevehető különbség. Rangsorolás esetében az azonos dolgok azonos rangszámot kapnak.

Kötés: A rangszámegyezést kötésnek is nevezzük.

W szignifikancia vizsgálata: Szignifikancia vizsgálattal mindig valamilyen alapfeltevést (nullhipotézist) vizsgálunk. Nullhipotézis: nincs egyetértés a rangsorolók között, vagyis W 0-nál nagyobb értéke a véletlennek és nem pedig az egyetértésnek tulajdonítható. Ellenhipotézis: nem a véletlennek tekintjük W adott és 0-nál nagyobb értékét, hanem az egyetértésnek. A W szignifikancia vizsgálata a számításban szereplő Δmennyiség eloszlására épül. Δ kritikus értékeit 5 és 1%-os szignifikancia szinten táblázat tartalmazza, k=3,4,5,…,20, és n=3,4,…,7 terjedő értékekre.Ha a ténylegesen kiszámított Δérték nagyobb, mint a kritikus érték (táblázat), akkor a nullhipotézist adott szignifikancia szinten elutasítjuk.

2. zárthelyi

Kinek jól, kinek rosszul sikeredett, reméljük a legjobbakat :)
Összegyűjtöm ide, hogy miket írtatok le a levlistán a mai zh feladatokkal kapcsolatban:

mikor használjuk a Welch próbát?
Mi a determinációs együttható?

egy intervallumbecslés és egy szórásbecslés
valamint szerintem egy variancianalízis

- Milyen tagsági függvényeket ismersz? (4p)
- Mi az elsőfajú hiba? (2p)

- Egy páros mintás példa, de 12-12 adattal,h jó sokat számolhass vele (7p)
- Regressziós példa 15-15 adattal (12p)

milyen kapcsolat van az elsőfajú- és a másodfajú hiba, illetve a becslés megbízhatósága és erőssége között?

7 pontos feladat: függetlenségvizsgálat (szem- és hajszín, könnyű volt)
12 pontos regressziós feladat

Konzisztencia fogalma
Khi-próba feltételei
7 pontos: egy 4 soros táblázatból egy sorra (csoportra) vonatkozó várható érték és szórás becslése
12 pontos: uabból az adatsorból 3 csoport összevetése sztem variancianalízissel (remélem :)), szerencsére az alapsokasági szórások egyezőségét nem kellett ellenőrizni

Mi a különbség a hagyományos és a Fuzzy halmazok között?
Lineáris korrelációs együttható
7p: Függetlenségvizsgálat kontingencia táblázattal. 3 sor és 3 oszlop
12p: Regressziós feladat, de nem kellett "számolgatni", meg volt adva minden, ami kellett, csak kicsit trükközni kellett vele. (pl. szükség volt szumma(dx*dy)-ra, és nem az volt megadva, hanem a kovariancia, amiből ki lehet számolni)

Sok sikert mindenkinek holnap!

Kedves hallgató társak!

Mindenkinek sok sikert holnap, addig is még aki tanul eredményes felkészülést! Már nem leszek gépközelben ma...

Remélem akik megnézték a blogot, azoknak mind segítségére vált!

Üdv,

L

Elmélet a 2. zárthelyi dolgozathoz javítva

Nagyon szépen köszönöm Norbertnek a rendszerezést és javítást, remélem nem gond, hogy felrakom. 

BECSLÉS

Becslés: A statisztikai becslés valamely paraméter ismeretlen (feltételezett) tényleges értékének közelítő megadása egy statisztikai függvénnyel. Elvileg bármelyik statisztikai függvény tekinthető becslésnek, azonban csak azokat használjuk, amelyeket jellemeznek a jó becslés legfontosabb tulajdonságai: torzítatlanság (várható érték), pontosság (szórás), konzisztencia.

Torzítatlan becslés: Olyan becslés, melynek várható értéke éppen a megfelelő paraméterérték. Ekkor abban lehetünk biztosak, hogy nincsen semmiféle szisztematikus, egyirányú eltérés a becslés és a becsült paraméter között.

Konzisztens becslés: Konzisztensnek (összetartónak) nevezzük a becslést akkor, ha ingadozása a becsült paraméter körül a minta elemszámának növelésével egyre csökken.

Hatásos becslés: Két becslés összehasonlításakor a hatásosság, vagy efficiencia kritériuma alapján döntjük el, hogy a kettő közül melyik jobb. Két becslés közül a kevésbé ingadozót nevezzük hatásosabbnak.  Az ingadozás mértéke a szórás, tehát a két becslés közül a kisebb szórásút tekintjük hatásosabbnak, jobbnak.

Elégséges becslés: Egy becslés elégséges, ha lényegében minden információt tartalmaz a paraméterre vonatkozóan, vagyis nincs más olyan becslés, amelyik a paraméterről több információt szolgáltatna.

Pontbecslés: A pontbecslés során az eloszlás valamely ismeretlen paraméterét egy mintaelemekből számolható (empirikus) mennyiséggel/számadattal közelítjük meg.

·        Maximum-likelihood módszer (legnagyobb valószínűség elve): az eljárás lényege az ún. likelihood függvény felállítása, amely nem más, mint a mintaelemek együttes sűrűségfüggvénye, s az ismeretlen paraméter becslésére azt a statisztikát használjuk, melyre ez a függvény maximális értéket vesz fel. Ez az egyik legjobb és leggyakrabban alkalmazott eljárás.

·        Legkisebb négyzetek módszere: A módszer lényege, hogy egy elméleti modellnek (ez lehet egy eloszlás vagy sűrűségfüggvény, de lehet egy egyszerű konstans függvény is) a paramétereit határozza meg úgy, hogy a tényleges és a becsült paraméterekkel illesztett modellek négyzetes eltérése, azaz az eltérések négyzetösszege minimális legyen.

·        Momentumok módszere abban áll, hogy ha k számú paramétert akarunk becsülni, akkor az eloszlás első k számú elméleti momentumát egyenlővé tesszük a mintából számított tapasztalati momentumokkal. Ily módon az ismeretlen paraméterekre egyenletrendszert nyerünk, amely kedvező esetben megoldható.

·        Grafikus paraméterbecslés: az előző matematikai eljáráshoz képest, ez inkább a gyakorlat számára könnyebben kezelhetőbb eljárás. Bár pontossága természetesen a grafikus ábrázolás adta lehetőségektől függ, de egyszerűsége miatt sokszor jól használható. Lényegük, hogy valamilyen módón (többnyire logaritmizálással) linearizáljuk az eloszlásfüggvényt, s az adatokat grafikusan ábrázolva az egyenes meredekségéből és/vagy tengelymetszetéből következtetünk az eloszlás ismeretlen paraméteré(ei)re.

Exponenciális eloszlás paraméterének grafikus becslése: Az eloszlás eloszlásfüggvénye: F(x) =1 - e-lx . Mindkét oldalból 1-et kivonva, (-1)-el megszorozva, majd az egyenletet logaritmizálva és újra megszorozva (–1)-gyel, az alábbi összefüggést kapjuk: -ln[1-F(x)]= lx. Ha x függvényében ábrázoljuk a baloldalon lévő kifejezést, egy egyenest kapunk, melynek tengelymetszete 0, iránytangense (meredeksége) éppen az ismeretlen l paraméter.

Normális eloszlás paramétereinek grafikus becslése: Speciális beosztású ordinátatengelyű koordinátarendszert alkalmazva az eloszlásfüggvény képe linearizálható. A függőleges tengelyen az eloszlásfüggvény értékeit ábrázoljuk úgy, hogy az eloszlásfüggvény középértékéből (0,5) kiindulva az egységnyi távolság 1 szórásnyi legyen.

Intervallumbecslés: Az intervallumbecslés során a mintastatisztika eloszlásának ismeretében megadunk egy olyan intervallumot, amely az ismeretlen paramétert nagy valószínűséggel tartalmazza. Ezt az intervallumot az adott paraméterre vonatkozó konfidencia-intervallumnak nevezzük. Az intervallum megadásához ismernünk kell egy megbízhatósági szintet is.

NEM PARAMÉTERES PRÓBÁK

Próbafüggvény: A mintaelemek egy függvénye, amelynek valószínűség-eloszlása ismert a nullhipotézis helyességének feltételezése mellett.

Elsőfajú hibát csak igaz hipotézisek vizsgálata során követhetjük el. Akkor fordul elő, ha egy igaz hipotézist a minta adatai alapján nem fogadunk el. Az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét α-val jelöljük, értéke egy adott próba során tetszőleges kicsinyre csökkenthető. Az első- és másodfajú hiba egyidejűleg csak a mintaelemek számának növelésével csökkenthető.
Másodfajú hibát csak hamis hipotézisek vizsgálata során követhetünk el. Másodfajú hiba akkor jelentkezik, ha a hamis hipotézist a minta adatai alapján nem utasítjuk el. A másodfajú hiba valószínűségét β-val jelöljük, s értéke egy adott próba során bármely konkrét – a feltett hipotetikustól eltérő – alapsokasági paraméterre vonatkozóan kiszámítható. A másodfajú hiba veszélye csökken a hipotetikus és a tényleges várható érték eltérésének növekedésével, viszont nő, ha adott próba esetén az elsőfajú hibát csökkentjük. Az első- és másodfajú hiba egyidejűleg csak a mintaelemek számának növelésével csökkenthető.

Paraméteres próba: Ha a vizsgált valószínűségi változó eloszlása ismert, de ismeretlen paramétereket tartalmaz, akkor a hipotézis vizsgálat az ismeretlen paraméterekre irányul.

Nem paraméteres próba: Az eloszlás típusa nem ismert, akkor a feltevés magára az eloszlásra vonatkozik.

Nullhipotézis: Alaphipotézis, próbahipotézis) az a hipotézis, amelyet a statisztikai próbával előre megadott szignifikancia szinten vizsgálunk. Jele: H₀. Nem lehet igaz, ha elfogadjuk az ellenhipotézist. A nullhipotézisről hozott döntésünk  közvetetten az ellenhipotézisre vonatkozó döntést is jelent. Lehet egyszerű vagy összetett.

Ellenhipotézis: Lehet egyszerű és összetett hipotézis is. Nem lehet igaz, ha elfogadjuk a nullhipotézist.

Elfogadási tartomány: Azt a tartományt értjük alatta, amelyben a nullhipotézis fennállása esetén α szignifikancia szint mellett a statisztikai jellemző számított értéke legalább az ε=1-α valószínűséggel kerül.

Elutasítási tartomány: Azt a tartományt értjük alatta, amelyben a nullhipotézis fennállása esetén, α szignifikancia szint mellett a jellemző számított értéke legfeljebb α valószínűséggel kerülhet.

Illeszkedés vizsgálat: Olyan statisztikai próbát jelent, amelynek alapján arról döntünk, hogy valamely ξ valószínűségi változó F (tapasztalati) eloszlása lehet-e adott F₀ (elméleti) eloszlásfüggvénnyel jellemzett eloszlás.

Yates-féle korrekció: Amikor diszkrét adatokra folytonos eloszlások eredményeit alkalmazzuk, bizonyos folytonossági korrekciókat alkalmazhatunk. Hasonló korrekció létezik a χ²-eloszlás alkalmazása esetén is. Ez a korrekció a fenti egyenlet (képlet) alakú módosítását igényli. Általában csak DF=1 szabadságfok esetén alkalmazzuk.

Kolmogorov-próba: Az elméleti és tapasztalati eloszlásfüggvény értékeinek összehasonlításán alapul, a hipotézisvizsgálatot adott szignifikancia szinten végezzük, és a hipotézist akkor vetjük el, ha ez az eltérés abszolút értékben egy megadott – kritikus – értéknél nagyobb.

Homogenitás vizsgálat: Segítségével eldönthetjük, hogy két valószínűségi változó azonos eloszlásúnak tekinthető-e.

Függetlenség vizsgálat: Arra a kérdésre adja meg a választ, hogy két valószínűségi változó független-e egymástól vagy sem. Nullhipotézisünk az, hogy a két változó független egymástól.

Sztochasztikus kapcsolat: Átmenetet jelent a függvényszerű és a függetlenség között; az egyik ismérv szerinti hovatartozás a másik ismérv szerinti hovatartozás tendenciáját (valószínűségét) határozza meg. A statisztika a sztochasztikus kapcsolatok vizsgálatával foglalkozik. Fajtái: asszociációs kapcsolat, korrelációs kapcsolat, vegyes kapcsolat.

PARAMÉTERES PRÓBÁK

Egymintás próbák: Mindig egy adott sokaság valamely jellemzőjére vonatkozó feltevések helyességének ellenőrzésére szolgálnak. Ennek érdekében a rendelkezésre álló egyetlen mintából meghatározott jellemzőt valamely feltételezett vagy kívánatosnak tartott állapothoz viszonyítjuk.

Egymintás t-próba: Akkor alkalmazzuk, ha nem ismerjük az alapsokasági szórást, és kis mintánk van (n<30) (a kérdéstől függően mindkét próba esetén alkalmazhatunk egyoldali illetve kétoldali ellenhipotézist)

Egymintás z-próba: Abban az esetben alkalmazzuk, ha ismerjük az alapsokasági szórást, vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n>30)(ilyenkor az alapsokasági szórást korrigált tapasztalati szórással becsüljük.)

Két- és többmintás próbák: A két- és többmintás próbák- ideértve a meglehetősen speciális páros mintás próbákat is- annak a kérdésnek a vizsgálatára használhatók, hogy két vagy több - meghatározott szempontból eltérő – sokaságban vizsgált paraméterek (szórások, várható értékek) is különböznek-e egymástól. (röviden: két vagy több sokaság egymással való összehasonlítására szolgál)

Minta függetlensége: Azt jelenti, hogy az egyik sokaságban egy elem mintába kerülése, ill. be nem kerülése semmilyen módon nem befolyásolja a másik sokaságban az elemek mintába kerülésének valószínűségét.

Kétmintás t-próba: Abban az esetben alkalmazzuk, ha nem ismerjük az alapsokasági szórásokat, de feltehető a szórások egyezése.

Kétmintás z-próba: Abban az esetben alkalmazzuk, ha ismerjük az alapsokasági szórásokat, vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk.

Welch-próba: Akkor használjuk, ha a két alapsokasági szórás ismeretlen, s ráadásul nem tételezhető fel a két szórás egyezése - ezt vizsgálja a szórás próba-. Ilyen esetekben a két sokaság várható értékének összehasonlítására szolgál.

Páros minták: A mintaelemekben „van valami közös”. Az egyik minta elemeinek kiválasztása maga után vonja a másik minta elemeinek kiválasztását, s így a két minta elemei nem tekinthetőek függetleneknek.

F-próba: Csak abban az esetben alkalmazzuk, ha két minta szórását hasonlítjuk össze.

Bartlett-próba: Funkciója annak eldöntése, hogy több normális eloszlású minta szórása azonos-e.

Cochran-próba: E módszer segítségével azt dönthetjük el, hogy a szórások között talált legnagyobb érték tekinthető-e a többivel azonos eloszlásból származónak. Akkor alkalmazhatjuk, ha az alapeloszlás normális és a minták mind azonos darabszámúak.

KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓ ELEMZÉS

Asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (mindkét változó nominális mérési szintű).

Rangkorrelációs kapcsolat: mindkét változó sorrendi skálán mérhető.

Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi ismérv, a másik területi vagy minőségi ismérv (az egyik változót intervallum- vagy arányskálán, a másik változót meg nominális skálán mértük).

Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (mindkét változó intervallum- vagy arányskálán mérhető).

Korrelációszámítás: a magas szintű mérési skálákon mért változók kapcsolatainak vizsgálatával foglalkozik, elemzi a kapcsolat meglétét, szorosságát és irányát. A regresszió számítás az összefüggésekben lévő tendenciát vizsgálja, és a kapcsolat természetét valamilyen függvénnyel írja le.

Reziduum: Maradék  vagy hibaváltozó (e, u, vagy gyakran ε), vagyis a modellünk által nem magyarázott rész. A Reziduumok négyzeteinek összege jól jellemezi a ponthalmaz és a regressziós vonal kölcsönös viszonyát.

β₁ jelentése az, hogy a magyarázó változó egységnyi növekedése a becsült eredményváltozó átlagosan hány egységnyi növekedésével/csökkenésével jár együtt.

β₀ jelentése az, hogy ha a magyarázó változó 0 értéket vesz fel, a modell szerint mekkora lesz az eredményváltozó értéke.

Rugalmassági mutató: (elaszticitás) azt mondja meg, hogy a magyarázó változó 1%-os növekedése az eredményváltozó hány %-os növekedésével/csökkenésével jár együtt.

Regressziós becslés abszolút hibája: kifejezi, hogy a regressziós becslések átlagosan mennyivel térnek el az eredményváltozó megfigyelt értékeitől.

Kovariancia: Megadja két egymástól különböző változó együttmozgását.

Korrelációs együttható: Megmutatja a függés erősségét két eseményrendszer között. Az együttható 0 és 1 közötti értéket vehet fel. Minél közelebb esik a 0-hoz ez az érték annál gyengébb a kapcsolat-, s minél közelebb esik 1-hez ez az együttható annál szorosabb a kapcsolat a két eseményrendszer közt. Két véletlen változó lineáris (sztochasztikus) kapcsolatának, függőségének mértéke (jele: R).

Determinációs együttható: Az illeszkedés jóságát a determinációs együtthatóval r²-tel jellemezzük: az r² determinációs együttható arra ad választ, hogy a magyarázó változó az eredményváltozó varianciáját hány %-ban, milyen hányadban magyarázza. Vagy másképpen, az r², azaz a determinációs együttható megmutatja, hogy a lineáris regresszió segítségével a teljes szórásnégyzet hányadrészét sikerült megmagyarázni. (jele: r²) kifejezi, hogy a független változó (x) hány százalékban befolyásolja a függő változó (y) varianciáját. Ezek vonatkoznak a determinációs kapcsolatra is.

Heteroszkdaszticitás: a maradékváltozónak azt a tulajdonságát jelöli, hogy szórása (varianciája) nem állandó.

Autokorreláció: Az adatok lineárisan nem függetlenek. Az autokorreláció különböző rendű lehet, attól függően, hogy az adat  i-edik értéke melyik értékkel van kapcsolatban. Ha az adat i-edik értéke közvetlenül az előtte lévő értékkel áll korrelációs kapcsolatban, akkor elsőrendű autokorrelációról beszélünk.

Durbin-Watson teszt: maradékváltozó elsőrendű autokorrelációjának feltárására való próba.

EZ A KETTŐ NEMTOM HOVA TARTOZIK J

Ciklikus ingadozás: A ciklikus mozgások a trendgörbe, vagy a trend egyenes körüli hosszú távú kilengésekre, ingadozásokra vonatkoznak. Üzleti és gazdasági tevékenységek esetében az ingadozásokat csak akkor nevezzük ciklikusnak, ha azok több mint egy éves időintervallum után ismétlődnek.

Szezonális ingadozás: Azokra az azonos, vagy majdnem azonos mintákra vonatkoznak, amelyeket az idősor az egymás után következő időszakokban (pl: évente, havonta) követ. Pl: karácsony előtti nagy bevásárlás.

BEVEZETÉS A MENDZSMENT LÁGYSZÁMÍTÁSI MÓDSZEREIBE

Üzleti folyamat alatt olyan gyűjtőfogalmat értünk, amely egy vállalkozás tágabb értelemben vett működéséhez szükséges, illetve az üzleti működést szolgáló bármely folyamatot magában foglalhatja. Így például üzleti folyamatnak tekintjük egy vállalat emberi erőforrás kiválasztási folyamatát csakúgy, mint azt a folyamatot, amellyel egy szolgáltató vállalkozás a vevői elégedettségét értékeli.

Folyamat jósága/megbízhatósága: Ez a gyakorlatban általában azt jelenti, hogy a vizsgált folyamathoz olyan mérhető mutatószámokat rendelünk, amelyekkel a folyamat jellemző karakterisztikái vagy attribútumai számszerűen leírhatók és rajtuk keresztül a folyamat jósága kvantifikálható, illetve az a mért értékek alapján minősíthető vagy értékelhető.

A mutatószámok mérése esetén legalább az alábbi bizonytalanságokkal kell számolnunk.

· A mérés szubjektív elemei.

· A mérőrendszer ismételhetőségével és reprodukálhatóságával kapcsolatos problémák.

· A mért és a vállalat szervezete által érzékelt jóság, megbízhatóság eltérése.

A mérések eredményeinek értékelése: Az üzleti gyakorlatban üzleti folyamatok karakterisztikáinak és attribútumainak mérése önmagában nem elegendő, a mérésen túl szükséges olyan, a mért értékeket felhasználó értékelési módszerek alkalmazása, amelyek az üzleti folyamatok jóságát, megbízhatóságát úgy képesek értékelni, hogy az értékelés eredményei összhangban vannak a vállalkozás szervezete által az üzleti folyamatokhoz társított, észlelt jósággal, megbízhatósággal.

Az ilyen értékelési módszereket a továbbiakban megbízhatóság alapú értékelési módszereknek nevezzük.

Az értékelés lépései:

A folyamat jellemző karakterisztikájának vagy attribútumának kijelölése.

A kiválasztott karakterisztikához vagy attribútumhoz mutatószám hozzárendelése.

A meghatározott mutatószám mérése.

A mutatószám mért értékeinek megbízhatóság alapú értékelése.

Tradicionális megközelítés: Legyen M az m mutatószám lehetséges értékeinek halmaza. A tradicionális megközelítés lényege abban áll, hogy az m mutatószám lehetséges értékei alapján éles határt húzunk a megbízható (jó) és nem megbízható (nem jó) tartományok között, azaz m-re vonatkozóan megadjuk a megfelelő és nem megfelelő értékek tartományait. Ekkor voltaképpen az m mutatószám alapján megbízhatónak, jónak tekinthető folyamatot halmazként definiáljuk.

Fuzzy megközelítés: A megbízható üzleti folyamatok fuzzy halmazként történő értelmezése lehetővé teszi, hogy e folyamatok jóságát, megbízhatóságát mért mutatószámok alapján úgy értékeljük, hogy egyrészt kezeljük az értékelés bizonytalanságait, másrészt az értékelés eredménye összhangban van a vállalkozás által észlelt értékekkel.

Tagsági függvény: A tagsági függvény az, amellyel a mért m értékekhez hozzárendeljük azok megbízható (jó) halmazhoz tartozásuk mértékét, ez pedig azt jelenti, hogy a tagsági függvény egyúttal a folyamat jóságát, megbízhatóságát értékelő függvény is.

Típusai: Háromszög tagsági függvény, Trapéz tagsági függvény, Gauss tagsági függvény, Harang (Bell) tagsági függvény, Szigmoid tagsági függvény

Fuzzy alkalmazások az üzleti tudományok területén: Az alkalmazások jelentős része elsősorban műszaki területekre koncentrálódik, de az 1980-as évektől kezdődően egyre több kutatás témáját képezi a fuzzy elmélet alkalmazása a gazdaságtan, a szervezéstudományok és a menedzsment, azaz átfogóan az üzleti tudományok területein.

Néhány alkalmazási terület a teljesség igénye nélkül:

· Optimalizálás bizonytalan paraméterekkel a termelés- és szolgáltatásmenedzsmentben

· Emberi erőforrás tervezése bizonytalan információkkal

· Egészségbiztosítási rendszerek finanszírozási döntései fuzzy logika alkalmazásával

· Fuzzy kognitív térképek alkalmazása komplex (sokváltozós) ökoszisztémák célértékeinek meghatározására

· Fuzzy alapú osztályozási módszerek a marketingben

· Projekttevékenységek fuzzy alapú ütemezése

· Beszállítók kiválasztási kritériumainak meghatározása fuzzy halmazok segítségével.